Smoothness of Harmonic Maps for Hypoelliptic Diffusions

Harmonic maps are viewed as maps sending a xed diiusion to manifold-valued martingales. Under a convexity condition, we prove that the continuity of real-valued harmonic functions implies the continuity of harmonic maps. Then we prove with a probabilistic method that continuous harmonic maps are smooth under HH ormander's condition; the proof relies on the study of martingales with values in the tangent bundle. R esum e. Les applications harmoniques peuvent ^ etre vues comme des applications envoyant une diiusion x ee sur des martingales a valeurs dans une vari et e. Nous d emontrons sous une hypoth ese de convexit e que la con-tinuit e des fonctions harmoniques r eelles implique la continuit e des applications harmoniques. Ensuite nous montrons par une m ethode probabiliste que les applications harmoniques continues sont r eguli eres sous la condition de HH ormander; la d emonstration repose sur l' etude des martingales a valeurs dans le br e tangent.